Gran parte de los avances científicos, en particular los matemáticos, se dan cuando alguien formula una pregunta y esta no se puede responder con los conocimientos del momento.
Digamos que se conocen los números naturales (1, 2, 3, 4,... ) y se plantea el siguiente problema (usando únicamente números naturales): x + 1=0; esto, por obvio que parezca, no tiene solución en los números naturales, ya que x = -1 no es un elemento de este conjunto. Para resolver la ecuación se necesitan los números enteros (..., -2, -1, 0, 1, 2,... ), no es casualidad que su estudio fuera posterior; sin embargo, dichos números no solucionan todos los casos semejantes a éste. Veamos la siguiente ecuación (con coeficientes enteros): 2x - 1=0, no tiene solución en los enteros. Es necesario extender los números enteros a los números racionales, con los que si tiene respuesta: x=1/2.
Pero la historia no acaba ahí, si bien durante mucho tiempo se creyó que todos los números eran los hasta ahora descritos, nuevamente se encontró un problema que no tenía solución con los números conocidos en ese momento. El problema fue la duplicación del cubo (o por lo menos es la primera referencia histórica que se conoce), y es considerado uno de los grandes problemas de la Grecia antigua. Muy relacionado con este problema encontramos otro acerca de la duplicación de un cuadrado, famoso sobre todo por ser utilizado en uno de los diálogos de Platón en Menón. Aquí, él describe una conversación con Sócrates y un esclavo, en la que se refiere a la solución de dicho problema.
La idea era la siguiente: Si se tiene un cuadrado, encontrar un cuadrado que tenga el doble del área del primero.
Si a los racionales que conocíamos les añadimos los irracionales, obtenemos los números reales, y aunque ahora no parece una sorpresa, tampoco son suficientes para solucionar algunas ecuaciones como x2 + 1=0.
La solución a esta ecuación es un número imaginario, llamado así por que por algún tiempo los matemáticos no estaban seguros de que fueran números ni de como debían tratarlos; si despejamos la ecuación anterior obtenemos la raíz cuadra de menos uno a la que se denomina (i), entonces se debía buscar una manera de juntar los números reales con los imaginarios. A esa unión se le llamó números complejos y todos se pueden escribir de la forma: a+bi, donde a y b son números reales.
Esta historia llegó a su fin gracias a Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), destacado matemático alemán que entre muchos otros trabajos demostró que los números complejos son cerrados, es decir, que cualquier ecuación con coeficientes complejos tiene solución dentro de los complejos, de hecho tiene tantas soluciones como el grado de dicha ecuación.
En la actualidad a esta conclusión se le conoce como Teorema Fundamental del Álgebra.
